Olen lueskellut divarista löydettyä Veikko Nevanlinnan kirjaa Matematiikkaa harrastajille (Gummerus 1958). Kirjassa selitetään havainnollisesti ns. korkeamman matematiikan ideoita. Se on kirjoitettu lähinnä harrastelijoita varten. Asioita selitetään mielestäni siinä hyvin auki. Kirjan kirjoittaja professori Veikko Nevanlinna muuten on Neovius-Nevanlinnan kuuluisaa matemaatikkosukua. Suosittelen kirjaa sen mielenkiintoisuuden vuoksi ja nimenomaan johdantona matematiikan eräiden osa-alueiden ymmärtämiseen. Jossain määrin elementaarisesti (ei matemaattisesti aivan tarkasti) tulen omassa gradussanikin aihettani käsittelemään. On nimittäin hiukan tullut ollut ongelmana, ettei aiheeseeni liittyvää matemaattisesti aivan tarkkaa -ja samalla riittävän vähän pohjatietoja vaativaa- materiaalia ole oikein löytynyt. Matematiikka harrastajille -kirjasta saan mahdollisesti hiukan asiaa yhteen graduni kappaleeseen.

Oli myös mukavaa lukea vaihteeksi tekstiä suomeksi, vaikka matematiikan kieli onkin pitkälti kansainvälistä. Ja matematiikassa on kiehtovaa se, etteivät matemaattiset todistukset vanhene eli muutkin lähteeni on kirjoitettu kauan ennen syntymääni. Matematiikan tutkielmassa ei kuitenkaan auta vedota siihen, että "kirjassa asia perusteltiin näin ja näin". Vietäessä jokin väite omaan työhön, se on kyettävä perustelemaan itse, siitä tulee oma väite. Siis on ymmärrettävä kirjassa mahdollisesti esitetty todistuksen idea (käyden se läpi useaan kertaan) ja sitten kirjoitettava todistus loogisesti täydentäen kirjassa mahdollisesti oiotut kohdat tms. Liittyy tosin gradun tekemiseen muutakin.

Tässä omin sanoin Matematiikka harrastajille -kirjasta eräs kohta, joka ei kylläkään suoranaisesti liity omaan graduuni. Kirja kuitenkin havainnollisti hyvin minulle, miksi ratkaisun olemassaoloa on tärkeä tarkastella sellaistenkin ongelmien kohdalla, joissa sitä ei intuitiivisesti pysty päättelemään.

Väite: Suurin positiivinen kokonaisluku ei voi olla mikään muu luku kuin luku yksi. [Tämähän on sinänsä absurdi väite, mutta katsotaan, miten todistaessa väitettä käy...]

Todistus: Otetaan mielivaltainen kokonaisluku n (eli n=1,2,3,...). Oletetaan, että luku n ei ole ykkönen. Tällöin sen neliö nª on aina sitä suurempi. Näin ollen n ei voi olla suurin kokonaisluku. Toisaalta luku yksi on ainoa positiivinen kokonaisluku, jonka neliö ei ole lukua itseään suurempi. Siis positiivinen kokonaisluku ei voi olla mikään muu kuin luku yksi.

Todistuksessa ei ole mitään vikaa! Missä sitten on? Eihän ykkönen voi olla suurin positiivinen kokonaisluku! Yllä todistettiin, ettei mikään ykkösestä poikkeava luku ole suurin kokonaisluku. Tämä ei kuitenkaan merkitse, että ykkönen olisi suurin. Suurinta kokonaislukua ei ole olemassa. Sitä tosin emme todistaneet tässä, mutta tämä seikka olisi ollut tärkeä tietää. Edellinen todistus antaa hiukan kuvaa siitä, miten tärkeää on tarkastella ratkaisun olemassaoloa. Itse asiassa se voi olla jopa vaikeampaa kuin ongelman muu todistaminen. Matematiikan historiassa joihinkin ongelmiin onkin löydetty todistus jo kauan ennen olemassaolokysymyksen selvittämistä.

Linkki: Nevanlinnoista ja muista suomalaisista matemaatikoista